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Le problème de l’échelle et de l’équerre avec Geogebra

Le problème ouvert de l’équerre

Une équerre ABC est positionnée de telle sorte que le point A est situé sur l’axe des ordonnées et le point B sur celui de l’axe des abscisses. On déplace l’équerre en faisant glisser les points A et B sur les axes. Quelle est la trajectoire du point C ? Et celle du point J milieu de [AB] ?

La configuration

Le problème ouvert de l’échelle

Une échelle bien équilibrée est positionnée contre un mur vertical. L’échelle glisse le long du mur. Quelle est la trajectoire du centre de gravité de cette échelle pendant la chute ?

Remarques : Sans trop de modélisation à outrance, ces deux problèmes peuvent être considérés comme des problèmes du plan et non de l’espace et le problème de l’échelle correspond à la trajectoire du milieu de l’hypoténuse de l’équerre.

Conjectures : Les logiciels libres de géométrie dynamique GeoGebra et CarMetal montrent ici leur utilité dans la conjecture (la modélisation du problème avec ces deux logiciels est par ailleurs un très bon exercice à part entière B-) )

Avec GeoGebra

Dans l’applet GeoGebra ci-dessous, vous pouvez :

  • cliquer avec le bouton droit de la souris sur les points J et/ou C et cocher l’activation de la trace
  • déplacer le point A afin de laisser les traces de la trajectoire du point C et du point J (le milieu de l’hypoténuse)
  • réactualiser la figure en cliquant sur la double flèche en haut à droite
  • déplacer le point O afin de recentrer la figure
  • changer les angles de l’équerre et la longueur de l’hypoténuse
  • utiliser le bouton « déplacer le graphique » et « secouer » la figure afin d’effacer des traces existantes.

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Une conjecture sur la nature des trajectoires des points J et C  ? À vos cerveaux, c’est toujours ouvert.